Связь между характером монотонности функции и знаком ее производной

Производная функции - online presentation

связь между характером монотонности функции и знаком ее производной

В этой статье описано применение производной для исследования функций на монотонность, расписаны все определения и теоремы. Рассмотрены. Исследование. функций. Признак. монотонности. функции Связь между знаком производной функции и характером ее изменения Ðèñ. Признак монотонности функции Одной из существенных характеристик Связь между знаком производной функции и характером ее изменения Рис.

Не правда ли, он похож на предыдущий график? На нем те же две уникальные точки, но одна из указанных выше трех особенностей этих точек изменилась: Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: Так, функции, графики которых изображены на рис. Это верно для обеих функций. Значение функции в точке минимума обычно обозначают.

Не путайте это значение наименьшее, но в локальном смысле с то есть с наименьшим значением функции во всей рассматриваемой области определения в глобальном смысле. Посмотрите еще раз на рис.

Признак монотонности функции

Вы видите, что наименьшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует. Значение функции в точке максимума обычно обозначают. Не путайте это значение наибольшее, но в локальном смысле.

Вы видите, что наибольшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует.

связь между характером монотонности функции и знаком ее производной

Как искать точки экстремума функции? Ответ на этот вопрос мы сможем найти, еще раз проанализировав графические модели, представленные на рис. А для функции, график которой изображен на рис.

Это не случайно, поскольку, как доказано в курсе математического анализа, справедлива следующая теорема. Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не существует, — критическими.

Вам известно, что графиком заданной квадратичной функции является парабола, причем ветви параболы направлены вверх, поскольку коэффициент при хг положителен.

Исследование функции на монотонность с применением производной

Приравняв производную нулю, получим: Подставив найденное значение х в уравнение параболы, получим: В качестве контрольных точек удобно взять точку 0; 3 и симметричную ей относительно оси параболы точку 3; 3. Практически так же, лишь ось параболы находили не с помощью производной, а по формуле которую приходилось запоминать.

Решение, показанное в примере 4, освобождает вас от необходимости помнить эту формулу. A кaк же быть с достаточным условием?

  • Возрастание и убывание функции
  • Монотонность функции и ее связь с производной
  • Связь между монотонностью функции и ее производной

Как узнать, есть ли в стационарной или в критической точке экстремум? Для ответа на этот вопрос снова рассмотрим графики функций, представленные на рис.

Соответственно изменяются знаки производной: Если же и слева, и справа от стационарной или критической точки производная имеет один и тот же знак, то в этой точке экстремума нет, именно так обстоит дело с функцией, график которой изображен на рис.

связь между характером монотонности функции и знаком ее производной

Наши рассуждения могут служить подтверждением но, конечно, не доказательством — строгие доказательства проводятся в курсе математического анализа справедливости следующей теоремы.

Теорема 5 достаточные условия экстремума. Решение, а Найдем производную данной функции: На первом из указанных выше промежутков функция убывает, на втором и третьем возрастает. Итак, мы имеем точку минимума 0;точку пересечения графика с осью х — точку 1; 0 и стационарную точку 2; 5.

Связь между монотонностью функции и ее производной

В этой точке касательная к графику функции горизонтальна, но это не точка экстремума, а точка перегиба. График функции схематически изображен на рис. Заметим, что есть еще одна точка пересечения графика с осью абсцисс, но найти ее нам не удалось.

Найти стационарные и критические точки. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

Заметим, что если заданная функция имеет вид то полюсы функции, то есть точки, в которых знаменатель q х обращается в нуль, тоже отмечают на числовой прямой, причем делают это до определения знаков производной. Но, разумеется, полюсы не могут быть точками экстремума. Воспользуемся указанным выше алгоритмом.

Монотонность функции и ее связь с производной

Построение графиков функций За годы изучения курса алгебры в школе вы накопили достаточно большой опыт построения графиков функций. Как выбирали эти контрольные точки? Графики любых функций строят по точкам. Но в тех случаях, когда вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — уметь выделять особо важные точки графика, которые определяют его структуру. В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике.

Когда такое представление составится, можно приступить к построению графика по точкам. В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы. Именно так мы действовали в этом параграфе, когда строили графики следующих функций: Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она дает своеобразный ориентир для графика.

Например, для функции ее график гипербола изображен на рис. Самый распространенный признак существования вертикальной асимптоты заключается в следующем: В следующих примерах учтем все вышеуказанные обстоятельства и построим графики функций, придерживаясь определенной схемы. Построить график функции Решение.

Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках. Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке. Выводы, сделанные при выполнении этого задания, обобщаются следующей теоремой. Вводим новые термины слайд Стационарная точка — внутренняя точка области определения функции, в которых производная равна нулю. Критическая точка — внутренняя точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует.

Ученики решают задание в парах с опорой на теорему. Взаимопроверка проводится по образцу решения на этом же слайде: Эти точки могут быть точками экстремума. Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте: На чертеже выделены одна критическая и одна стационарная точки, не являющиеся точками экстремума!

Учащиеся должны отметить, что в точке а производная равна нулю, а в точке b не существует. Тем не менее, в этих точках экстремумов. Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. На рисунках эскизы графиков монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций, к каждому графику проведены касательные в нескольких точках.

Сравните свои выводы со следующим утверждением.